ŚLĄSKIE STUDIA HISTORYCZNO-TEOLOGICZNE

ELEMENTE DER NATURPHILOSOPHIE GEORG CANTORS
Georg Cantors Ansichten bildeten im Bereich der Naturphilosophie kein geschlossenes und kein volles System. Sie zeigten sich im Rahmen der philosophischen Verteidigung der Mengenlehre. Cantors Ziel war nämlich die Verteidigung der Mengenlehre, unter anderem, durch den Hinweis auf ihre eventuellen Anwendungen in den Naturwissenschaften. Der Schöpfer der Mengenlehre war, zu dem im XIX. Jahrhundert geltenden Paradigma der Newtonischen Physik, negativ eingestellt. Die von ihm formulierten und bewiesenen Lehrsätze, die einen topologischen Charakter habenj bildeten den Ausgangspunkt für die Kritik der allgemeinen Überzeugung über den Euklides'schen Charakter der physikalischen Welt. Nach Cantor existierte auch keine absolute Zeit, die das Mass der Bewegung in der Mechanik wäre. Er hat vorgeschlagen, anstatt der Newtonischen Mechanik — alternative Mechaniken zu konstruieren, die an abweichenden Hypothesen, in betreff der topologischen Eigenschaften des physikalischen Raumes, gestützt waten. Die Anwendung der Mengenlehre in den Naturwissenschaften, so behauptete der Mathematiker aus Halle, forderte wichtige Voraussetzungen zu tun. Es war nötig, die grundsätzlichen Bestandteile der Materie als unausdehnbare Punkte des Raumes zu behandeln und anzunehmen, dass von diesen Elementen in der physikalischen Welt, eine unendliche Menge ist. Cantor hat vorausgesehen, dass die mengenlehreartige Analyse viele physikalische und chemische Eigenschaften der Materie zu erläutern ermöglichen wird. In der Opposition zur mechanistischen Tendenz präsentierte er eine Vision der Schöpfung einer neuen unitarischen Theorie, die neben den Phänomenen der unlebenden Natur auch die biologischen Phänomene erklären wird. Als Schlüsselstellung der "Organischen Theorie" sollte der mengenlehreartige Begriff des Ordnungstypus sein. Die von Cantor dargestellten Ansichten zeigten seine philosophische Option. Die Abneigung gegen den Mechanizismus ergab sich nicht nur von der Kritik der Voraussetzungen der Newtonischen Mechanik. Cantors Überzeugungen nach, konnte der Mechanizismus nicht angenommen werden, denn er führte zum Determinismus, Materialismus und Atheismus. Unmöglich war eine Einschränkung aller Naturphänomene zur Mechanik. Der Schöpfer der Mengenlehre stand unter dem Einfluss des Piatonismus. Charakteristisch waren seine Versuche bei der Auffindung der Korelaten für die mengenlehreartigen Ideen in der Phänomenenwelt. Die Erkenntnis, im Vorschlag von Cantor, hatte einen rationalen und deduktiven Charakter. Cantor stand unter dem Einfluss von Leibniz, er erblickte im Formalismus der Theorie die Art einer universellen Sprache, die epistemologische Probleme löst. Cantors Erkenntnisoptimismus zeigte sich auch in der Kritik des Kantianismus, des Sensualismus und des Skeptizismus. Trotz starker Verbindungen mit dem Piatonismus, kann mam Cantors Ansichten nicht als äusserst realistisch bezeichnen. Er war bewusst, dass die Erkenntnis in den Naturwissenschaften sich auf der Konstruirung von Modellen stützt und setzt eine gewisse Idealisierung voraus. Es scheint, dass in dieser Hinsicht Cantor auf dem Standpunkt des massigen Realismus stand. Die Analyse der philosophischen Affassungen von Cantor, scheint vom Standpunkt der Geschichte und der Philosophie der Wissenschaft interessant zu sein. Sie spiegelten typische Erscheinungen und Vorgänge ab, welche die paradigmatischen Änderungen in der Wissenschaft begleiteten.

EIGENART DER MATHEMATIK NACH GEORG CANTOR
Nach Zusammenzählung der Ergebnisse der durchgeführten Forschungen muß man feststellen, daß tatsächlich das einzige Kriterium der Eigenart der Mathematik, mit welchem Cantor sich bedient hat, bildete die Hinführlichkeit der Theorie zur Arithmetik der natürlichen Zahlen und nach dem Jahr 1884 die Hinführlichkeit zur Mengenlehre. Das war ein metamathematisches Kriterium, welches sich an der im neunzehnten Jahrhundert durchgeführten Arithmetisation der klassischen Mathematik stützt. Man kann glauben, daß in der Überzeugung von Cantor dieses Kriterium diese und nur diese Theorien umfaßten, welche vorher zur Mathematik auf Grund des ostensiven Kriterium angerechnet wurden und der Mengenlehre. Es war in dieser Bedeutung "geöffnet", daß jede neue Theorie, welche man zu der Mengenlehre herabführen könnte, würde als mathematische angenommen sein. Dagegen die von Cantor unternommenen Versuche, das Kriterium der Mathematikheit auf anderen Grundlagen: philosophischen, oder sich berufenden zu den in der Mathematik angewandten Methoden zu stützen, setzen schließlich voraus - wie es gezeigt wurde - das metamathematische Kriterium. Man muß auch betonen, daß Cantor - Schöpfer der Mengenlehre - als erster auf den Einfall gekommen ist, die Theorien, durch Herbeiführung zur Mengenlehre, zu unifizieren. Solche Auffassung wird auch gegenwärtig angenommen und einst gehörte sie zu den wesentlichen Thesen des Programmes der Logizisten. In dieser Schrift wurden auch Aussagen von Cantor berücksichtigt, welche die Zusammenhänge der Mathematik mit der Philosophie und Theologie charakterisieren. Es geht aus ihnen hervor, daß er die Mengenlehre als formale Ontologie wahrgenommen hat. Interessant sind auch seine Bemerkungen, die sich auf die dienstbare Rolle der Mengenlehre, gegenüber der Philosophie und Theologie beziehen. Die analysierten Texte geben aber keine Bestätigung der Vermutungen, daß Cantor sich noch mit irgendeiner anderen, als hier erwähnten Konzeption der Eigenart der Mathematik bedient hat.

KONZEPTION DER MATHEMATIK GEORG CANTORS UND DIE IDEE DES LOGOZISMUS
Zusammenfassung Es sieht danach aus, in der Schlußfolgerung dies betonen zu müssen, daß G. Cantor die Idee des Logizismus antipiziert hat, welche von ihm fast gegenwärtigen G. Frege und eine Generation jüngeren B. Russell sowie A. N. Whitehead präsentiert wurde. Er hat nicht nur die Ansicht über die Möglichkeit einer Systematisierung der Mathematik vertreten, sondern hat auch tatsächlich dazu beigetragen, daß im neunzehnten Jahrhundert ihre Arithmetisation durchgeführt wurde. Die Errungenschaft von G. Cantor bestand darin, daß er das Modell der Theorie der Realzahlen im Gebiet der Rationalzahlen errichtet hat. Ein wesentlichen Mangel seiner Forschungsarbeiten bestand darin, daß er sich - im Gegensatz zu den Logizisten - der Axiomatik der Arithmetik der Naturalzahlen nicht bedient hat. Diese Axiomatik bildete nämlich gleichzeitig eine Axiomensammlung der ganzen arithmetisierten Mathematik. G. Cantor präsentierte in ähnlicher Weise wie die Logizisten, die Ansicht über einer reduzierung der arithmetisierten Mathematik zu einer Grundtheorie. Seiner Überzeugung nach, sollte jene Theorie die Mengenlehre sein, dagegen nach der Meinung der Logizisten, die Logik. Der deutsche Mathematiker behauptete, daß man bei der Ableitung der Mathematik von der Mengenlehre sich des mengenlehreartigen Begriffs der Ordnungstypen bedienen sollte. Bei der Realisation ihres Programmes definierten die Logizisten die Grundbegriffe der Axiomatik der Arithmetik der Naturalzahlen mit Hilfe des verwandten Begriffs der Kardinalzahl. Man muß stark betonen, daß G. Cantor nur die Idee einer Reduzierung der Mathematik zu einer Grundtheorie präsentiert hat. Da der deutsche Mathematiker sich der Axiomatik der Arithmetik nicht bedient hat, war er nicht im Stande dieses Programm zu verwirklichen. Die Logizisten dagegen, haben ihre Idee der Ableitung der Mathematik des neunzehnten Jahrhunderts von der Logik durchgeführt. Das war jedoch eine Logik, welche eigenartig verstanden wurde. Die Typentheorie von B. Russell und A. N. Whitehead enthielt manche mengenlehreartige Axiome. Man kann also diese Theorie (wenigstens) als ein Fragment der Mengenlehre betrachten. Somit endgültig - wenn man die Mengenlehre als einen Wissenschaftszweig, welcher nicht zur Logik gehört behandelt - kann man behaupten, daß die Logixistendie Idee von G. Cantor, bezüglich der Reduktion der Mathematik des neunzehnten Jahrhunderts zur Mengenlehre, durchgeführt haben. Gegenwärtig wird nicht über die Reduzierung der Mathematik zur Logik gesprochen. Dagegen bemüten sich die Gelehrten, die mit einer Mathematikergruppe, welche mit dem Pseudonym N. Bourbaki bezeichnet wird, in Verbindung stehen, das Programm der Ableitung der ganzen gegenwärtigen Mathematik von der Mengenlehre zu realisieren.