ŚLĄSKIE STUDIA HISTORYCZNO-TEOLOGICZNE

DIE AKZEPTATION DES AKTUAL-UNENDLICHEN BEI HL. AUGUSTINUS
Zusammenfassung
Nach der Erforschung der Mengenlehreparadoxe, welche mit den Aporien des Zeno verbunden waren, haben sich die altertümlichen Mathematiker und Aristoteles für die Ausschließung des Aktual-Unendlichen von der Mathematik und Philosophie erklärt. Dieser altertümliche "Finitismus" hat prinzipiell bis zum neunzehnten Jahrhundert geherrscht. Doch haben einige hervorragende Denker "die Furcht vor dem Unendlichen" überwunden. Zu ihnen gehörte hl. Augustinus. Er begründete das bestehen der Menge aller natürlichen Zahlen, wo diese Menge im Altertum für ein Paradigma des Aktual-Unendlichen gehalten wurde. In seiner Begründung hat er sich auf die Ontologie von Plato und die christliche Denkweise berufen. Natürliche Zahlen sind Ideen. Sie existieren außerhalb der Zeit und dem Raum. Alle Ideen sind Gottes Gedanken. Folglich existieren die natürlichen Zahlen als Ideen-Gedanken, alle "auf einmal" im Gottes Wissen und bilden eine fertige Ganzheit, eine aktual-unendliche Menge. Das Argument des hl. Augustinus über die Existenz des Aktual-Unendlichen ist auf sehr starken Voraussetzungen aufgebaut, welche von Piatos Philosophie herstammen. Sein Gedankengang ist aber nicht fehlerfrei. Als Kriterium des Unendlichen einer Menge hat er die Eigenheit des Nichtbesitzens durch die Menge einer echten Über-Menge angenommen. Dann hat er als eine unendliche Menge die Menge aller natürlichen Zahlen bezeichnet. Für solch eine Menge kann man jedoch beispiele der echten Über-Mengen angeben. Dem Kriterium des hl. Augustinus entsprechend, müßte sie endlich sein.

DIE PHILOSOPHIE DER MATHEMATIK VON IMMANUEL KANT ALS BEZUGSPUNKT DER PHILOSOPHIEN DER MATHEMATIK, WELCHE MIT DEN HAUPTRICHTUNGEN DER MATHEMATIKGRUNDLAGENFORSCHUNGSARBEITEN ASSOZIERT SIND
Zusammenfassung
Die durchgeführten Forschungsarbeiten haben erwiesen, daß die Errungenschaft von I. Kant, auf dem Gebiet der Philosophie der Mathematik, einen sehr wichtigen Bestandteil der Erbschaft des Denkens in diesem Bereich gebildet hat. Bis zu solchem Ausmaß hat er im neunzehnten Jahrhundert die Art die Mathematik zu verstehen beherrscht, daß die am Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts entstehenden Konzeptionen der Mathematikgrundlagen mit der Erbschaft des Philosophen von Königsberg ringen mußten, da sie an ihr nicht teilnahmslos vorbeigehen konnten. Der Kantismus bildete für die Philosophien, welche mit den einzehlnen Richtungen der Mathematikgrundlagenforschungen assoziert sind, einen wesentlichen, wenn nicht sogar den allerwichtigsten Bezugspunkt. So mußten die Schöpfer des Logizismus einen großen Kraftaufwand einsetzen, als sie die These von I. Kant, daß die Behauptungen der Mathematik synthetische Urteile a priori sind, an die Grundlagen rütteln wollten. Der Intuitionismus hat tatsächlich das kantische Denken übernommen und es zum Zustande der Mathematik vom Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts adoptiert. Sogar D. Hubert, Schöpfer des Formalismus, hat seine Konzeption der Ontologie und Epistemologie der finistischen Mathematik und die Konzeption des Unendlichen als eine Idee des Verstandes von I. Kant übernommen.