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ŚLĄSKIE STUDIA HISTORYCZNO-TEOLOGICZNE



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szukane wyrażenie: "matematyka" | znaleziono 7 opisów(-y) | strona: 1 spośród: 1



autor: Dadaczyński, J.

tytuł: Koncepcja nieskończoności w matematyce i filozofii antycznej

Śląskie Studia Historyczno-Teologiczne 30 (1997) 35-49

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słowa kluczowe: matematykafilozofianieskończoność

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UNENDLICHKEITSBEGRIF IN DER MATHEMATIK UND DER ANTIKEN PHILOSOPHIE
In den vorliegenden Analysen wurde festgestellt, daß die Aufnahme von Aristoteles des Problems der Unendlichkeit von ihm eine Stellungnahme zu der Problemlage war, welche in der antiken Mathematik und Philosophie zumindest ein Jahrhundert vorher entstanden ist. Die Unendlichkeit in der Mathematik erschien im Zusammenhang mit der Entdeckung der Inkommensurabilität und der Einführung der Unendlichkeitsverfahren. Auf diese Angelegenheit haben die Pythagoräer ihre Aufmerksamkeit gelenkt. In einem anderen intellektuellen Medium des Großen Griechenlands, unter den Eleaten, ist das Problem der Unendlichkeit im Zusammenhang mit den ontologischen und physikalischen Proben der Verneinung des Effekts der Bewegung aufgetreten. Die bekannten Aporien von Zeno zeigten die Paradoxe, die mit dem Begriff der Unendlichkeit und der Stetigkeit verbunden sind. Aristoteles, mit Hilfe Eudoxios, bemühte sich den Schwierigkeiten, die mit der Unendlichkeit verbunden sind, zu entgehen. Deshalb, trotzdem er die Begriffsbestimmung der Unendlichkeit (der unendlichen Mengen) nicht angegeben hat, führte er die Dichotomie der aktuellen und potentiellen Unendlichkeit ein. Er selbst erklärte sich für das Dasein der potentiellen Unendlichkeit. Das war die Äußerung der antiken "Furcht vor der Unendlichkeit". Die mit dem Begriff der Unendlichkeit verbundenen antiken Probleme wurden erst im XIX. Jahrhundert gelöst, als die Theorie der unendlichen Mengen (Mengenlehre) entstanden ist. Das war aber im Zusammenhang mit der Ablehnung des altertümliches Axioms, welches feststellt, daß "die Ganzheit größer als ein Teil ist". Die aristotelische Unterscheidung auf potentielle und aktuelle Unendlichkeit hat einen beständigen Platz im Instrumentarium der Philosophen und der philosophierenden Mathematiker gefunden. Bis zum heutigen Tag herrscht unter ihnen keine Einigkeit, ob das Dasein der aktuell unendlichen Mengen akzeptiert sein soll. Eins ist sicher. Die Mathematik braucht seit der altertümlichen Zeiten irgendeine Form der Unendlichkeit.



autor: Dadaczyński, J.

tytuł: Swoistość matematyki w ujęciu Georga Cantora

Śląskie Studia Historyczno-Teologiczne 30 (1997) 51-82

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słowa kluczowe: Cantor, Georgmatematyka

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EIGENART DER MATHEMATIK NACH GEORG CANTOR
Nach Zusammenzählung der Ergebnisse der durchgeführten Forschungen muß man feststellen, daß tatsächlich das einzige Kriterium der Eigenart der Mathematik, mit welchem Cantor sich bedient hat, bildete die Hinführlichkeit der Theorie zur Arithmetik der natürlichen Zahlen und nach dem Jahr 1884 die Hinführlichkeit zur Mengenlehre. Das war ein metamathematisches Kriterium, welches sich an der im neunzehnten Jahrhundert durchgeführten Arithmetisation der klassischen Mathematik stützt. Man kann glauben, daß in der Überzeugung von Cantor dieses Kriterium diese und nur diese Theorien umfaßten, welche vorher zur Mathematik auf Grund des ostensiven Kriterium angerechnet wurden und der Mengenlehre. Es war in dieser Bedeutung "geöffnet", daß jede neue Theorie, welche man zu der Mengenlehre herabführen könnte, würde als mathematische angenommen sein. Dagegen die von Cantor unternommenen Versuche, das Kriterium der Mathematikheit auf anderen Grundlagen: philosophischen, oder sich berufenden zu den in der Mathematik angewandten Methoden zu stützen, setzen schließlich voraus - wie es gezeigt wurde - das metamathematische Kriterium. Man muß auch betonen, daß Cantor - Schöpfer der Mengenlehre - als erster auf den Einfall gekommen ist, die Theorien, durch Herbeiführung zur Mengenlehre, zu unifizieren. Solche Auffassung wird auch gegenwärtig angenommen und einst gehörte sie zu den wesentlichen Thesen des Programmes der Logizisten. In dieser Schrift wurden auch Aussagen von Cantor berücksichtigt, welche die Zusammenhänge der Mathematik mit der Philosophie und Theologie charakterisieren. Es geht aus ihnen hervor, daß er die Mengenlehre als formale Ontologie wahrgenommen hat. Interessant sind auch seine Bemerkungen, die sich auf die dienstbare Rolle der Mengenlehre, gegenüber der Philosophie und Theologie beziehen. Die analysierten Texte geben aber keine Bestätigung der Vermutungen, daß Cantor sich noch mit irgendeiner anderen, als hier erwähnten Konzeption der Eigenart der Mathematik bedient hat.



autor: Dadaczyński, J.

tytuł: Psychologia analityczna C.G. Junga a skrajny realizm w ontologii matematyki

Śląskie Studia Historyczno-Teologiczne 31 (1998) 27-37

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słowa kluczowe: psychologiapsychologia analitycznaJung, Carl Gustavmatematykafilozofiaontologia matematyki

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DIE ANALYTISCHE PSYCHOLOGIE VON C. G. JUNG UND ULTRAREALISMUS IN DER ONTOLOGIE DER MATHEMATIK
Zusammenfassung H. Meschkowski bemüht sich die Begründung für den Platonismus in der Ontologie der Mathematik in den Ergebnissen der empirischen Wissenschaften zu finden. Er nimmt an, daß eine solche Grundlage dem Platonismus die analytische Psychologie von C. G. Jung gibt. H. Meschkowski ist der Meinung, daß die Gegenstände der Mathematik, die bestehenden in dem kollektiven Unbewußten Archetypen sind. Er gibt Beispiele der "Entdeckung" von G. Cantor der unendlichen Zahlen und der wiederholten "Entdeckung" vom zwölfjährigen Pascal der Euklidischen Geometrie, als Entdeckungen - nach seiner Meinung - gewisser Archetypen. Es erweist sich doch, daß die Archetypen die Voraussetzungen, welche auf die Ideen in der Platonischen Ontologie aufgelegt wurden, nicht erfüllen. Die Ideen bestehen außerhalb der Zeit und des Raumes, sind unabhängig von irgendwelchen Subject. Dagegen die Archetypen -wie die Analyse der Aussagen von C. G. Jung erwiesen hat- sind entweder variabel in der Zeit oder sind Konstrukten. Der Schöpfer der analytischen Psychologie hat die Frage der Ontologie, an welcher er die Theorie des gemeinsamen Unbewußten, und der Archetypen aufgebaut hat, nicht entschieden. Nach seiner Meinung sprechen gewisse Rechte für die Auffassung von Plato und gewisse für die Auffassung von Aristoteles. Daher entscheidet die These von H. Meschkowski, daß die Gegenstände der Mathematik Archetypen sind, nicht die Unstimmigkeit in der Ontologie der Mathematik, sondern "verschiebt" sie nur in den Bereich der Ontologie der analytischen Psychologie. Außerdem ist die analytische Psychologie nur an der Hypothese des Vorhandenseins des kollektiven Unbewußten und Archetypen aufgebaut. Die Hypothesen der empirischen Wissenschaften bilden kein entscheidendes Kriterium zur Anerkennung irgendwelchen philosophischen Standpunktes. Die Idee von H. Meschkowski verwahrscheinlicht den Platonismus in der Ontologie der Mathematik nicht.



autor: Dadaczyński, J.

tytuł: Koncepcja matematyki G. Cantora a idea logicyzmu

Śląskie Studia Historyczno-Teologiczne 31 (1998) 38-53

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słowa kluczowe: Cantor, Georgmatematykafilozofialogika

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KONZEPTION DER MATHEMATIK GEORG CANTORS UND DIE IDEE DES LOGOZISMUS
Zusammenfassung Es sieht danach aus, in der Schlußfolgerung dies betonen zu müssen, daß G. Cantor die Idee des Logizismus antipiziert hat, welche von ihm fast gegenwärtigen G. Frege und eine Generation jüngeren B. Russell sowie A. N. Whitehead präsentiert wurde. Er hat nicht nur die Ansicht über die Möglichkeit einer Systematisierung der Mathematik vertreten, sondern hat auch tatsächlich dazu beigetragen, daß im neunzehnten Jahrhundert ihre Arithmetisation durchgeführt wurde. Die Errungenschaft von G. Cantor bestand darin, daß er das Modell der Theorie der Realzahlen im Gebiet der Rationalzahlen errichtet hat. Ein wesentlichen Mangel seiner Forschungsarbeiten bestand darin, daß er sich - im Gegensatz zu den Logizisten - der Axiomatik der Arithmetik der Naturalzahlen nicht bedient hat. Diese Axiomatik bildete nämlich gleichzeitig eine Axiomensammlung der ganzen arithmetisierten Mathematik. G. Cantor präsentierte in ähnlicher Weise wie die Logizisten, die Ansicht über einer reduzierung der arithmetisierten Mathematik zu einer Grundtheorie. Seiner Überzeugung nach, sollte jene Theorie die Mengenlehre sein, dagegen nach der Meinung der Logizisten, die Logik. Der deutsche Mathematiker behauptete, daß man bei der Ableitung der Mathematik von der Mengenlehre sich des mengenlehreartigen Begriffs der Ordnungstypen bedienen sollte. Bei der Realisation ihres Programmes definierten die Logizisten die Grundbegriffe der Axiomatik der Arithmetik der Naturalzahlen mit Hilfe des verwandten Begriffs der Kardinalzahl. Man muß stark betonen, daß G. Cantor nur die Idee einer Reduzierung der Mathematik zu einer Grundtheorie präsentiert hat. Da der deutsche Mathematiker sich der Axiomatik der Arithmetik nicht bedient hat, war er nicht im Stande dieses Programm zu verwirklichen. Die Logizisten dagegen, haben ihre Idee der Ableitung der Mathematik des neunzehnten Jahrhunderts von der Logik durchgeführt. Das war jedoch eine Logik, welche eigenartig verstanden wurde. Die Typentheorie von B. Russell und A. N. Whitehead enthielt manche mengenlehreartige Axiome. Man kann also diese Theorie (wenigstens) als ein Fragment der Mengenlehre betrachten. Somit endgültig - wenn man die Mengenlehre als einen Wissenschaftszweig, welcher nicht zur Logik gehört behandelt - kann man behaupten, daß die Logixistendie Idee von G. Cantor, bezüglich der Reduktion der Mathematik des neunzehnten Jahrhunderts zur Mengenlehre, durchgeführt haben. Gegenwärtig wird nicht über die Reduzierung der Mathematik zur Logik gesprochen. Dagegen bemüten sich die Gelehrten, die mit einer Mathematikergruppe, welche mit dem Pseudonym N. Bourbaki bezeichnet wird, in Verbindung stehen, das Programm der Ableitung der ganzen gegenwärtigen Mathematik von der Mengenlehre zu realisieren.



autor: Dadaczyński, J.

tytuł: Funkcje pojęcia wielkości w badaniach temporalności matematyki

Śląskie Studia Historyczno-Teologiczne 31 (1998) 54-70

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słowa kluczowe: matematykafilozofiaczaswielkość

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FUNKTIONEN DES GROSSHEITSBEGRIFFS IN DEN FORSCHUNGEN DER TEMPORALITÄT DER MATHEMATIK
Zusammenfassung Zwecks der Errichtung eines für die Mathematik entsprechenden Modells der Temporalität, hat man sich auf den im Altertum eingeführten mathematischen Begriff der Größe berufen. Es wurde gezeigt, daß schon im Altertum der Begriff der Größe mit Hilfe der entsprechenden Axiomatik beschrieben wurde und es wurden verschiedene Größentype unterschieden. Man bemerkte auch, daß mindestens bis zum neunzenten Jahrhundert die Mathematik als eine Größenlehre verstanden wurde. Doch bei bestimmten zusätzlichen Voraussetzungen könnte man auch die gegenwärtige Mathematik als eine Größenlehre ansehen. Es wurde auch der Begriff der Unstetigkeit in der Entwicklung der Mathematik definiert. Dann wurde angenommen, daß sie sich unstetig in diesen Fällen ändert, wenn der Bereich der in ihr akzeptierten Größentypen geändert wird. Der weitere Teil der Forschungen sollte erweisen, daß der eingeführte Begriff der Unstetigkeit der Entwicklung der Mathematik mit vielen Ereignissen in der Geschichte dieser Wissenschaft zusammenfällt, welche traditionell als Krisenmomente angesehen werden. Es können hier aufgezählt werden: die Erforschung der Irrationalität, die Entstehung der Integral- und Differentialrechnung, sowie die Entstehung der Mengenlehre zugleich mit der Entdeckung der Antinomien. Eigentlich kann nur die Krise, welche mit der Entstehung der nichteuklidischen Geometrie verbunden ist, mit Hilfe des vorgeschlagenen Modells, nicht beschrieben werden. Die Zeitabschnitte zwischen den Unstetigkeiten in der Entwicklung der Mathematik, könnte man als "Epochen" in der Entwicklung dieser Wissenschaft benennen. Es wurden mit Hilfe des angewandten Kriteriums folgende Epochen hervorgehoben: der Pythagoreer, von Eudoxos, de FHospital, Cauchy-Weierstrass- Cantor und Hubert. Selbstverständlich drängt sich an dieser Stelle die Bezeichnung des Begriffes aus, welche T. Kuhn vorgeschlagen hat und die einzelnen Epochen als "Paradigmen" der Mathematik zu benennen. Das würde aber unbegründet suggerieren, daß zwischen den einzelnen Epochen Revolutionen im Sinne non Kuhn waren. Solche Begründung enthält diese Arbeit nicht. Man kann auch über die Billigkeit, der auf diese Weise erhaltenen Periodisierung der Mathematik diskutieren. Und so wird zum Beispiel manchmal behauptet, daß der hier als abgesonderte Epoche ausgegliederte Zeitabschnitt der Mathematik von de FHospital, nur die Zeit einer permanenten Krise war, welche zum gehörigen, "stabilisierten" Zeitabschnitt der Mathematik von Cauchy-Weierstrass geführt hat. In dem Fall könnte man die ganze Entwicklung der Mathematik seit der Entdeckung der Irrationalität bis zur Definition von deutschen Mathematikern der Realzahlen im neunzehnten Jahrhundert als einen Zeitabschnitt einer permanenten Krise ansehen, in welchem keine Periodisirung durchgeführt wurde. Die Bestimmung der Unstetigkeit in der Entwicklung der Mathematik als Änderungen im Bereich der Akzeptation einzelner Größen erlaubt auch die Frage zu beantworten, warum die Mathematik sich ändert. Als Gründe der Änderungen bei Annahme dieses Modells sind die Ursachen der Änderungen im Bereich der Akzeptation einzelner Größen. In dieser Bearbeitung wurde gezeigt, daß diese Änderungen ein Ergebnis eines Geflechts heterogener Faktoren ist. Am öftesten finden diese Änderungen wegen innermathematischen Gründen statt. Aber es sind auch Gründe logischer, ontologischer, metamathematischer Natur, und auch solche, welche aus der Bedürfnissen der angewandten Mathematik folgen.



autor: Dadaczyński, J.

tytuł: Filozofia matematyki Immanuela Kanta jako punkt odniesienia filozofii matematyki stowarzyszonych z klasycznymi kierunkami badań podstaw matematyki

Śląskie Studia Historyczno-Teologiczne 32 (1999) 22-36

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słowa kluczowe: filozofiahistoria filozofiifilozofia matematykiKant, Immanuelmatematyka

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DIE PHILOSOPHIE DER MATHEMATIK VON IMMANUEL KANT ALS BEZUGSPUNKT DER PHILOSOPHIEN DER MATHEMATIK, WELCHE MIT DEN HAUPTRICHTUNGEN DER MATHEMATIKGRUNDLAGENFORSCHUNGSARBEITEN ASSOZIERT SIND
Zusammenfassung
Die durchgeführten Forschungsarbeiten haben erwiesen, daß die Errungenschaft von I. Kant, auf dem Gebiet der Philosophie der Mathematik, einen sehr wichtigen Bestandteil der Erbschaft des Denkens in diesem Bereich gebildet hat. Bis zu solchem Ausmaß hat er im neunzehnten Jahrhundert die Art die Mathematik zu verstehen beherrscht, daß die am Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts entstehenden Konzeptionen der Mathematikgrundlagen mit der Erbschaft des Philosophen von Königsberg ringen mußten, da sie an ihr nicht teilnahmslos vorbeigehen konnten. Der Kantismus bildete für die Philosophien, welche mit den einzehlnen Richtungen der Mathematikgrundlagenforschungen assoziert sind, einen wesentlichen, wenn nicht sogar den allerwichtigsten Bezugspunkt. So mußten die Schöpfer des Logizismus einen großen Kraftaufwand einsetzen, als sie die These von I. Kant, daß die Behauptungen der Mathematik synthetische Urteile a priori sind, an die Grundlagen rütteln wollten. Der Intuitionismus hat tatsächlich das kantische Denken übernommen und es zum Zustande der Mathematik vom Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts adoptiert. Sogar D. Hubert, Schöpfer des Formalismus, hat seine Konzeption der Ontologie und Epistemologie der finistischen Mathematik und die Konzeption des Unendlichen als eine Idee des Verstandes von I. Kant übernommen.



autor: Dadaczyński, J.

tytuł: Pojęcie nieskończoności w matematyce

Śląskie Studia Historyczno-Teologiczne 35,2 (2002) 265-270

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słowa kluczowe: matematykanieskończoność

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DER BEGRIFF DES UNENDLICHEN IN DER MATHEMATIK
Zusammenfassung
Der präsentierte Text zeigt die Entwicklung der Idee der Unendlichkeit in der Geschichte der Mathematik. Er knüpft an den Gedanken von D. Hilbert an, um den Begriff des Unendlichen, welcher in der Mathematik angewendet wird, als eine Idee im Kantischen Sinn anzuerkennen.



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