ŚLĄSKIE STUDIA HISTORYCZNO-TEOLOGICZNE

UNENDLICHKEITSBEGRIF IN DER MATHEMATIK UND DER ANTIKEN PHILOSOPHIE
In den vorliegenden Analysen wurde festgestellt, daß die Aufnahme von Aristoteles des Problems der Unendlichkeit von ihm eine Stellungnahme zu der Problemlage war, welche in der antiken Mathematik und Philosophie zumindest ein Jahrhundert vorher entstanden ist. Die Unendlichkeit in der Mathematik erschien im Zusammenhang mit der Entdeckung der Inkommensurabilität und der Einführung der Unendlichkeitsverfahren. Auf diese Angelegenheit haben die Pythagoräer ihre Aufmerksamkeit gelenkt. In einem anderen intellektuellen Medium des Großen Griechenlands, unter den Eleaten, ist das Problem der Unendlichkeit im Zusammenhang mit den ontologischen und physikalischen Proben der Verneinung des Effekts der Bewegung aufgetreten. Die bekannten Aporien von Zeno zeigten die Paradoxe, die mit dem Begriff der Unendlichkeit und der Stetigkeit verbunden sind. Aristoteles, mit Hilfe Eudoxios, bemühte sich den Schwierigkeiten, die mit der Unendlichkeit verbunden sind, zu entgehen. Deshalb, trotzdem er die Begriffsbestimmung der Unendlichkeit (der unendlichen Mengen) nicht angegeben hat, führte er die Dichotomie der aktuellen und potentiellen Unendlichkeit ein. Er selbst erklärte sich für das Dasein der potentiellen Unendlichkeit. Das war die Äußerung der antiken "Furcht vor der Unendlichkeit". Die mit dem Begriff der Unendlichkeit verbundenen antiken Probleme wurden erst im XIX. Jahrhundert gelöst, als die Theorie der unendlichen Mengen (Mengenlehre) entstanden ist. Das war aber im Zusammenhang mit der Ablehnung des altertümliches Axioms, welches feststellt, daß "die Ganzheit größer als ein Teil ist". Die aristotelische Unterscheidung auf potentielle und aktuelle Unendlichkeit hat einen beständigen Platz im Instrumentarium der Philosophen und der philosophierenden Mathematiker gefunden. Bis zum heutigen Tag herrscht unter ihnen keine Einigkeit, ob das Dasein der aktuell unendlichen Mengen akzeptiert sein soll. Eins ist sicher. Die Mathematik braucht seit der altertümlichen Zeiten irgendeine Form der Unendlichkeit.

DIE AKZEPTATION DES AKTUAL-UNENDLICHEN BEI HL. AUGUSTINUS
Zusammenfassung
Nach der Erforschung der Mengenlehreparadoxe, welche mit den Aporien des Zeno verbunden waren, haben sich die altertümlichen Mathematiker und Aristoteles für die Ausschließung des Aktual-Unendlichen von der Mathematik und Philosophie erklärt. Dieser altertümliche "Finitismus" hat prinzipiell bis zum neunzehnten Jahrhundert geherrscht. Doch haben einige hervorragende Denker "die Furcht vor dem Unendlichen" überwunden. Zu ihnen gehörte hl. Augustinus. Er begründete das bestehen der Menge aller natürlichen Zahlen, wo diese Menge im Altertum für ein Paradigma des Aktual-Unendlichen gehalten wurde. In seiner Begründung hat er sich auf die Ontologie von Plato und die christliche Denkweise berufen. Natürliche Zahlen sind Ideen. Sie existieren außerhalb der Zeit und dem Raum. Alle Ideen sind Gottes Gedanken. Folglich existieren die natürlichen Zahlen als Ideen-Gedanken, alle "auf einmal" im Gottes Wissen und bilden eine fertige Ganzheit, eine aktual-unendliche Menge. Das Argument des hl. Augustinus über die Existenz des Aktual-Unendlichen ist auf sehr starken Voraussetzungen aufgebaut, welche von Piatos Philosophie herstammen. Sein Gedankengang ist aber nicht fehlerfrei. Als Kriterium des Unendlichen einer Menge hat er die Eigenheit des Nichtbesitzens durch die Menge einer echten Über-Menge angenommen. Dann hat er als eine unendliche Menge die Menge aller natürlichen Zahlen bezeichnet. Für solch eine Menge kann man jedoch beispiele der echten Über-Mengen angeben. Dem Kriterium des hl. Augustinus entsprechend, müßte sie endlich sein.

DER BEGRIFF DES UNENDLICHEN IN DER MATHEMATIK
Zusammenfassung
Der präsentierte Text zeigt die Entwicklung der Idee der Unendlichkeit in der Geschichte der Mathematik. Er knüpft an den Gedanken von D. Hilbert an, um den Begriff des Unendlichen, welcher in der Mathematik angewendet wird, als eine Idee im Kantischen Sinn anzuerkennen.